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月曜日

課題がやばい。やばかったけど滑り込めた

演習課題がポコポコ出て舐めるとやばいやつっぽい。水曜辺りに倒したい

 

ホログラフィの基本原理をふんわり理解した

 

ラグランジュ記述とオイラー記述へのわかりを得た。「いちどラグランジュ的に定義されたあとは独立変数として云々」へのわかりがあったけれど言語化できずにいる。わかりとは

 

わかると言っておきながらある量Aをラグランジュ微分する、オイラー微分するというのがどういうことなのか実はまだよくわかっていない

Aの各時刻各点での値は記述にかかわらず定まっているはずで、それをそのまま(写像は集合だの気持ちで)列挙すれば各時刻各点でのAを与える関数A_e(r,t)はオイラー記述になる(なりそう)。

ただ実際のところAがどうなっているか知るのは難しいので各流体要素の行く末を見る形で関数A_l(r_0,t)を求めることもある(本当に?)

表すのは同じ量AなのでA_e(r(r_0,t),t)=A_l(r_0,t)である。

 

加速度aを考える。

加速度はある流体要素について各時刻での位置rまたは速度uが決まれば定まる。「ここを通る流体要素の速度の変化」と「いまここを通った流体要素の速度の変化」は異なる。上で定まる加速度は後者である。これを求めるにはラグランジュ記述による位置または速度の情報が必要であり、オイラー記述によるuをtで偏微分するわけにはいかない。

 

Aのラグランジュ微分とは、A_lを考えているときはtで微分、A_eを考えているときはその(あるいは任意の)rとtについてr=r(r_0,t)の方向に微分することを言う、のだと思う

Aのオイラー微分とは、A_eを考えているときはtで微分、A_lを考えているときはtでrにあるようなr_0とt+Δtでrにあるようなr_0についてA_l(r_0,t)の差をとってΔtで割ることを言う…んだろうか。こっちもr^-1(r_0)のgradとか出てきそうな気がするけれど

ラグランジュ記述のオイラー微分って出てくることあるんだろうか)

 

(時間に関して)ラグランジュ微分微分の空間的な方向が決まっているのでΔtと同時にΔx,Δy,Δzが発生する。

テイラー展開と全微分、全微分可能性の関係を明に考えたことがないのに気づいた

 

ラグランジュ的に空間微分するというのは意味のないstatementのように思うのだけど、意味づけできるんだろうか。tを固定してx_0を少し動かして0への極限を取ると何だ、同時線(適切な名前があったはず)の接線が得られる?